Giả sử hệ phương trình: $\left\{
\begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\{y^2} + yz + {z^2} = 16\end{array}
\right.$ có nghiệm. Chứng minh rằng: $$xy + yz + zx \le 8.$$
Cách 1:
Sử dụng bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz, ta có $$\begin {aligned}\left ( xy+yz+zx \right )^2&=\left
[ x\left ( y+\frac{z}{2} \right )+z\left ( y+\frac{z}{2} \right ) \right
]^2\\&\le \left [ x^2+\frac{4}{3}\left ( y+\frac{x}{2} \right )^2 \right
]\left [ \left ( y+\frac{z}{2} \right )^2+\frac{3}{4}z^2 \right
]\\&=\frac{4}{3}( x^2+xy+y^2 )( y^2+yz+z^2 )=64 .\end {aligned}$$ Từ đó ta
dễ dàng suy ra ra được $$xy+yz+zx\le 8$$ với đẳng thức xảy ra khi và chỉ
$$x=\frac{7}{\sqrt{31}},\, y=\frac{4}{\sqrt{31}}, \, z =
\frac{20}{\sqrt{31}}.$$ Chứng minh hoàn tất. $\Box$
Cách 2:
Bài này có thể hiểu ý nghĩa hình học
thế này: Lấy một điểm O bất kì trong mặt phẳng, ta dựng ba tia Ox, ,Oy,, Oz sao cho Ox, ,Oy, Oz lần lượt hợp với nhau ba góc mỗi
góc $120^{\circ}$. Trên Ox lấy điểm A sao cho OA=x,
trên OB
lấy điểm B sao cho OB=y và trên Oz lấy điểm C sao cho OC=z. Khi đó theo định lý hàm số cos
ta có: $AB
= \sqrt {x^2 + xy + y^2 } = \sqrt 3 ,\quad BC = \sqrt {y^2 + yz + z^2 } = 4 . $
Lúc này thì: $xy + yz + zx = \frac{4}{{\sqrt 3 }}(
{S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA} }) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}S_{ABC} \le \frac{4}{{\sqrt
3 }}\cdot \frac{1}{2}\cdot BA\cdot BC = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\cdot
\frac{1}{2}\cdot \sqrt 3 \cdot 4 = 8. $
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông
tại B từ đó chọn được x, y, z thích
hợp.
Cách
3:
Để ý
rằng $$48=( x^{2}+xy+ y^{2})( y^{2}+yz+ z^{2})=\left[
\left(y+\frac{x}{2}\right) ^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3} }{2}\right)
^{2}\right]\left[\left(\frac{z\sqrt{3} }{2}\right) ^{2}+
\left(y+\frac{z}{2}\right) ^{2}\right].$$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
ta có: $$48 \geq \left(\frac{yz\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3}
}{4}+\frac{xy\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3} }{4}\right)^2=
\left[\frac{(xy+yz+zx)\sqrt{3} }{2}\right] ^{2}.$$ Từ đó suy ra $xy+yz+zx \leq
8.$ $\blacksquare$
Nguồn:
onluyentoan.vn
