Cho các số thực $a_1, a_2, ..., a_n $ . Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{a^3_1 + a^2_2 + ... + a^3_n} \le \sqrt{a^2_1 + a^2_2 + ... + a^2_n}$$

Cho các số thực $a_1, a_2, ..., a_n $ . Chứng minh rằng
   $$\sqrt[3]{a^3_1 + a^2_2 + ... + a^3_n} \le \sqrt{a^2_1 + a^2_2 + ... + a^2_n}$$Đặt VP =x $(x\geq 0)$
$ \Rightarrow x^2  = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {a_1^2 } }$
Nếu x=0 thì dấu "=" xảy ra.
Nếu $x>0$ thì $(\frac{a_1}{x})^2+(\frac{a_2}{x})^2+...+(\frac{a_n}{x})^2=1$
$(\frac{a_1}{x})^2\leq 1;(\frac{a_2}{x})^2\leq 1;...(\frac{a_n}{x})^2\leq 1;$
$\Rightarrow |\frac{a_1}{x}|\leq 1;|\frac{a_2}{x}|\leq 1;...|\frac{a_n}{x}|\leq 1$
$\Rightarrow (\frac{a_1}{x})^3\leq (\frac{a_1}{x})^2;...;(\frac{a_n}{x})^3\leq (\frac{a_n}{x})^2;$
$\Rightarrow (\frac{a_1}{x})^3+...+(\frac{a_n}{x})^3\leq (\frac{a_1}{x})^2+...+(\frac{a_n}{x})^2=1$
Từ đây ta có:$a_2^3+a_1^3+...+a_n^3\leq x^3\Rightarrow \sqrt[3]{a_2^3+a_1^3+...+a_n^3}\leq x=VP$ (đpcm)