Cho x,y,z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{{27}}{8}(1)$ Chứng minh rằng: $$\sqrt {xyz} \le \frac{{x + y + z}}{3}$$

21:32 |

Cho x,y,z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{{27}}{8}(1)$

Chứng minh rằng: $\sqrt {xyz} \le \frac{{x + y + z}}{3}$

Từ (1) ta có: $xy + xz + yz \ge \frac{8}{{27}}xyz$

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2xz = (x + y - z)^2 \ge 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2xz = (x - y - z)^2 \ge 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2xz = (x - y + z)^2 \ge 0$

Cộng lại ta có:

$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{2}{3}(xy + xz + yz)$

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \ge \frac{8}{3}(xy + xz + yz)$

$$ \ge \frac{8}{3}(\frac{{27}}{8}xyz) = 9xyz$$. Từ đây ta thu được điều cần chứng minh $\blacksquare$

Trang