Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn: $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \ge 1$$ CMR: $$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \ge 1$$

Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn: $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \ge 1$$
Chứng minh rằng: $$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \ge 1$$
Lời giải:
Đề bài trên đương đương với đề bài sau
Cho a,b,c dương và $$a+b+c\geq abc$$
Chứng minh $$a^2+b^2+c^2\geq abc$$
Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0 thì BĐT được cm vì vậy ta xét a,b,c>0
Giả sử ngược lại $a^2+b^2+c^2<abc$,khi đó $abc>a^2+b^2+c^2>a^2$
Nên a<bc tương tự $b<ac, c<ab$ từ đó suy ra $a+b+c<ab+bc+ac$ (1)
Mặt khác lại có: $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow abc>a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$
Nên $$abc>ab+bc+ac(2)$$
Từ (1) và (2) ta có $abc>a+b+c$ trái giả thiết suy ra đpcm. $\blacksquare$