Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm thì: $$a^6+b^6+c^6+3a^2b^2c^2\geq 2(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)$$
Cho x,y,z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{{27}}{8}(1)$ Chứng minh rằng: $$\sqrt {xyz} \le \frac{{x + y + z}}{3}$$
Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức: $$P=(x+2y+3z)(6x+3y+2z)$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\frac{ac+ab}{c^2-a^2+b^2}$$ Với a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác ABC và $abc=1$
(không có tiêu đề)
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P = \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{y\sqrt y + 2z\sqrt z }} + \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{z\sqrt z + 2x\sqrt x }} + \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{x\sqrt x + 2y\sqrt y }}$$
Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực không âm thoả mãn $a_1 + a_2 + ... + a_n = 1$ Chứng minh rằng $$a_1a_2 + a_2a_3 + ... + a_{n - 1}a_n \le \frac{1}{4}$$
Cho các số thực $a_1, a_2, ..., a_n $ . Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{a^3_1 + a^2_2 + ... + a^3_n} \le \sqrt{a^2_1 + a^2_2 + ... + a^2_n}$$
Cho x,y,z không âm thoả $$(x+z)(z+y)=1$$ Chứng minh rằng: $$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq 4$$
Giả sử hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\{y^2} + yz + {z^2} = 16\end{array} \right.$ có nghiệm. Chứng minh rằng: $$xy + yz + zx \le 8.$$
Nhận xét
Cho $a,b,c>0$ và abc=1 . CMR:
$$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$$
Lời giải:
Ta có: $$(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)$$
$$VT\geq 1+\frac{9}{(ab+bc+ac)^2}\geq 2\sqrt{\frac{9}{(ab+bc+ca)^2}}=\frac{6}{ab+bc+ac}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét