Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^4} + {b^2}}}{{{a^2} + 1}} + \frac{{{b^4} + {c^2}}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{{c^4} + {a^2}}}{{{c^2} + 1}} \ge 3\]

Tác giả: Cao Xuân Huy
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^4} + {b^2}}}{{{a^2} + 1}} + \frac{{{b^4} + {c^2}}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{{c^4} + {a^2}}}{{{c^2} + 1}} \ge 3\] 
Áp dụng bđt CBS ta có:
\[({a^4} + {b^2})({b^2} + 1) \ge {({a^2}b + b)^2} = {b^2}{({a^2} + 1)^2} \Rightarrow \frac{{{a^4} + {b^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{{{b^2}({a^2} + 1)}}{{{b^2} + 1}}\]
Ta được:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^4} + {b^2}}}{{{a^2} + 1}}}  \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2}({a^2} + 1)}}{{{b^2} + 1}}} \]
Tới đây áp dụng AM-GM ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^4} + {b^2}}}{{{a^2} + 1}}}  \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2}({a^2} + 1)}}{{{b^2} + 1}}}  \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)}}{{({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)}}}} = 3\]